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Traité de la musique
18.
Le M. J'approuve ta pensée, mais ne voistu pas que les mouvements rationnels, c'est-à-dire, ayant entre eux une relation numérique, peuvent avec ces nombres s'étendre à l'infini,
s'ils ne rencontrent, dans une règle fixe, une limite qui les arrête et leur impose une mesure et une forme déterminée? Car si nous parlons d'abord des nombres égaux comme 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4 et ainsi de suite, quelle limite pouvons-nous rencontrer, quand le nombre n'en a pas lui-même? Telle est en effet l'essence du nombre : est-il énoncé? il est fini; ne l'est-il pas? il est infini. Cette propriété des nombres égaux se retrouve dans les nombres inégaux compliqués ou sesquialtères, connumérés ou dinumérés.
Pose le rapport de 1 à 2 et continue cette opération en établissant le rapport de 1 à 3,1 à 4,1 à 5 et ainsi de suite ; tu ne trouveras pas de limite. Double le second terme du rapport comme 1 et 2, 2 et 4, 4 et 8, 8 et 16, et ainsi de suite; tu ne trouveras pas non plus de limite. Triple, quadruple, fais toute autre combinaison de ce genre et tu verras toujours les nombres s'étendre à l'infini.
De même pour les nombres sesquialtères. Etablissons-nous les rapports de 2 à 3, 3 à 4, 4 à 5 ? Nous pouvons continuer ainsi jusqu'à l'infini, puisque nous ne rencontrons aucune limite. Veux-tu poser des rapports analogues, par exemple 2 à 3, 4 à 6, 6 à 9, 8 à 11, 10 à
15, et ainsi de suite? Ici, comme ailleurs, tu ne seras arrêté par aucune limite.
A quoi bon parler des nombres dinumérés? D'après les exemples que nous en avons cités, il est aisé de comprendre que l'échelle de ces nombres se continue sans fin. Es-tu de mon avis ?
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De musica (PL)
18.
M. Probo et accipio sententiam tuam: sed videsne [Col. 1094] omnes istos rationabiles motus, id est qui ad sese habent aliquam numerorum dimensionem, in infinitum posse per numeros pergere, nisi rursus eos certa ratio coercuerit, et ad quemdam modum formamque revocaverit? Nam ut primo de ipsis aequalibus dicam; unum ad unum, duo ad duo, tria ad tria, quatuor ad quatuor, ac deinceps si persequar, quis finis erit, cum ipsius numeri finis nullus sit? Namque ista vis numero inest, ut omnis dictus finitus sit, non dictus autem infinitus. Et quod aequalibus evenit, hoc etiam inaequalibus evenire potes animadvertere, sive complicatis, sive sesquatis, sive connumeratis, sive dinumeratis. Si enim unum ad duo constituas, et in ea multiplicatione permanere velis, dicendo unum ad tria, unum ad quatuor, unum ad quinque, et deinceps; non erit finis: sive sola dupla, ut unum ad duo, duo ad quatuor, quotuor ad octo, octo ad sexdecim, et deinde; hic quoque nullus est finis: ita et tripla sola et quadrupla sola, et quidquid horum tentare volueris, in infinitum progrediuntur. Ita etiam sesquati: nam duo ad tria, tria ad quatuor, quatuor ad quinque cum dicimus; vides nihil prohibere caetera persequi, nullo resistente fine: sive isto modo velis in eodem genere perseverans, ut duo ad tria, quatuor ad sex, sex ad novem, octo ad duodecim, decem ad quindecim, et deinceps; sive in hoc genere, sive in caeteris, nullus finis occurrit. Quid opus est de dinumeratis jam dicere, cum ex iis quae jam dicta sunt quivis intelligere possit, in iis quoque gradatim surgentibus nullum esse finem? An tibi non videtur?