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Sie bringt aber nicht blosss Vollendung, sie ist auch so zu sagen die harmonischste Zahl und gewissermassen die Quelle des schönsten musikalischen Schemas, das alle Harmonien, die Quart, die Quint, die Oktave, und alle Analogien (Proportionen), die arithmetische, die geometrische und die harmonische umfasst (Dasselbe, was oben § 48 bei der Zahl 4 gesagt ist, wird hier von der Zahl 7 wiederholt, weil die Zahlen, die bei diesen Verhältnissen in Betracht kommen, innerhalb der Zahlenreihe 1—7 liegen.). Das Schema wird gebildet aus folgenden Zahlen: 6, 8, 9, 12. Die 8 steht zur 6 im Verhältnis 4 : 3, durch das die Quart entsteht; die 9 zur 6 im Verhältnis 3 : 2, durch das die Quint entsteht; die 12 zur 6 im Verhältnis 2:1, durch das die Oktave entsteht. Sie enthält aber auch, wie ich sagte, alle Proportionen, die arithmetische aus 6 und 9 und 12 — denn wie die mittlere die erste um 3 überragt, so wird sie um ebenso viel von der letzten übertroffen —, die geometrische aus den 4 Zahlen (6, 8, 9, 12) — denn wie sich die 8 zur 6 verhält, so verhält sich die 12 zur 9; es ist dies das Verhältnis 4 : 3 —, die harmonische aus 3 Zahlen, 6, 8 und 12. Bei der harmonischen Proportion unterscheidet man aber zwei Arten; die eine entsteht, wenn die Differenz der letzten Zahl von der mittleren sich zur Differenz der mittleren von der ersten so verhält wie die letzte Zahl zur ersten. Einen klaren Beweis erhält man aus den vorliegenden Zahlen 6, 8, 12: die letzte (die 12) ist das Doppelte der ersten (der 6), und die Differenz ist auch das Doppelte; denn 12 ist um 4 grösser als 8 und 8 um 2 grösser als 6, 4 aber ist das Doppelte von 2. Die andere Art der harmonischen Proportion entsteht, wenn die mittlere Zahl um denselben Bruchteil sich von den äusseren Zahlen unterscheidet; denn die mittlere, die 8, übertrifft die erste Zahl um 1/3; zieht man nämlich 6 ab, so bleiben 2 übrig, das ist ein Drittel der ersten Zahl; die 8 wird aber von der letzten Zahl um das Gleiche übertroffen; denn wenn 8 von 12 abgezogen wird, so ist der Rest 4, das ist ein Drittel der letzten Zahl.